Optimization (2)

이번 글은 지난 EXCEL을 이용해서 최적화 문제를 푼 글의 후속편으로, 다른 예제을 다룰 것이다.

(지난 글 : 2021.05.19 - [[mathematics]] - Optimization - use EXCEL to solve optimization problems)

 

다음 예제은 데이터과학기초 강의에서 다룬 예제이다.

ex1) product-mix problem

 

최적화 예제1-1

product-mix problem은 제품 배합 문제로,

'제한된 자원으로 최대의 이윤을 내기 위해서, 얼마만큼의 제품을 생산해야하는가' 를 고민한다.

 

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최적화 예제1-2

 

예제의 조건들을 살펴보면,

제품 P는 $p_1, p_2, p_3$ 의 구성요소들을 가지고 있고,

제품 Q는 $q_1, q_2$ 의 구성요소들을 가지고 있다.

그리고, 가동기계는 A, B, C, D 4 종류가 있고, 각각의 기계의 최대 이용 시간은 2400분이다.

그림 [최적화 예제1-2]에서 각 제품에서 각 기계 오른쪽 위에 개당 가동시간이 적혀있다.

예를 들어, $p_2$에서 A는 15분동안 가동하고, $q_2$에서 A는 10분동안 가동한다.

 

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최적화 예제1-3

제품 P의 가격은 90달러, 제품 Q의 가격은 100달러이다.

제품 P는 주당 최대 100개, 제품 Q는 50개 가능하다.

주당 고정비는 5000달러이다.

 

 

 

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최적화 예제1-4

 

objective function(목적함수)는 profit(이윤)으므로, 수식을 세워보자.

$X_p, X_q$는 각각 제품 P, Q의 생산량이다.

$profit = revenue - cost = 90X_p+100X_q-(45X_p+40X_q+5000)=(90-45)X_p+(100-40)X_q-5000$

 

constraints(제한조건)은 각각의 기계들의 가동시간과 제품들의 생산량을 통해 나타낼 수 있다.

A : $15X_p+10X_q<=2400$

B : $15X_p+35X_q<=2400$

C : $15X_p+5X_q<=2400$

D : $25X_p+15X_q<=2400$

$X_p<=100$

$X_q<=50$

$X_p>=0$

$X_q>=0$

 

자, 이제 EXCEL를 이용해서 착착 입력해보면,

 

ex1 초기상태

 

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이제 해 찾기를 통해 최적화시켜보면, 다음과 같은 결과가 도출되었다.

 

ex1 중간 결과

$X_p=73.8, X_q=36.9$ 이고 이윤의 최댓값은 약 538달러이다. 모든 제한조건을 만족시키지만, 제품들의 생산량이 정수가 아닌 것이 애매하다.

만약, 제품의 개수가 정수라는 조건을 걸어주면,

크게 4가지 상황을 고려해봐야하고 이 중 제한조건을 만족하면서 최대의 이윤을 내는 상황을 채택하면 되겠다.

 

$(X_p, X_q) = (73, 36), (73, 37), (74, 36), (74, 37)$

 

i) $(X_p, X_q) = (73, 36)$

모든 제한조건을 만족시키고 이윤의 최댓값은 445달러이다.

 

ii) $(X_p, X_q) = (73, 37)$

모든 제한조건을 만족시키고 이윤의 최댓값은 505달러이다.

 

iii) $(X_p, X_q) = (74, 36)$

모든 제한조건을 만족시키고 이윤의 최댓값은 490달러이다.

 

iv) $(X_p, X_q) = (74, 37)$

다른 상황보다 큰 이윤의 최댓값 550달러를 가지지만, 기계 B와 D의 가동시간이 초과된다. (아래 그림 [ex1 iv) 상황] 참고)

 

ex1 iv) 상황

따라서, 제품 P 73개, 제품 Q 37개를 생산할 때,

모든 제한조건을 만족시키고 이윤의 최댓값 505달러을 창출한다.

 

 

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지금까지 EXCEL을 이용해서 최적화 문제를 푸는 과정을 다른 예제들 통해 적용해보았다.

다음 글에서는 다른 최적화프로그램을 통해 문제를 해결해보려한다.